Informatyka MIMUW

Niech $\displaystyle f:D\mapsto \mathbb{R}$ będzie funkcją określoną na pewnym zbiorze otwartym $\displaystyle D\subset \mathbb{R}^n$. Załóżmy, że w pewnym punkcie $\displaystyle a\in D$ istnieją pochodne cząstkowe $\displaystyle \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_1}(a), \frac{\partial f}{\partial x_2}(a), \dots, \frac{\partial f}{\partial x_n}(a)$.

Definicja 6.30.

Wektor $\displaystyle \displaystyle \mathrm{grad}\, f(a)=\bigg(\frac{\partial f}{\partial x_1}(a), \frac{\partial f}{\partial x_2}(a), \dots, \frac{\partial f}{\partial x_n}(a)\bigg)\in \mathbb{R}^n$ nazywamy gradientem funkcji $\displaystyle f$ w punkcie $\displaystyle a$. Wektor ten oznaczamy też często symbolem nabla: $\displaystyle \nabla f(a)$. Punkt $\displaystyle a$, w którym wyznaczamy gradient funkcji $\displaystyle f$, zapisujemy czasem w formie indeksu dolnego: $\displaystyle \mathrm{grad}\,_a f$, $\displaystyle \nabla_a f$.

Uwaga 6.31.

Jeśli funkcje $\displaystyle f,g: \mathbb{R}^n\supset D\mapsto \mathbb{R}$ mają w punkcie $\displaystyle a\in D$ pochodne cząstkowe $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_i}(a)$, $\displaystyle \frac{\partial g}{\partial x_i}(a)$, $\displaystyle i=1,2,\dots, n$, to

a) $\displaystyle \mathrm{grad}\, (f+g)(a)=\mathrm{grad}\, f(a) +\mathrm{grad}\, g(a),$

b) $\displaystyle \mathrm{grad}\, (f g)(a)=g(a) \mathrm{grad}\, f(a) +f(a) \mathrm{grad}\, g(a).$

Dowód 6.31.

Korzystając z twierdzenia o pochodnej sumy i iloczynu funkcji $\displaystyle f,g$, wyznaczamy kolejne współrzędne wektorów $\displaystyle \mathrm{grad}\,(f+g)(a)$ oraz $\displaystyle \mathrm{grad}\,(fg)(a)$:

$\displaystyle \frac{\partial}{\partial x_i}(f+g)(a)=\frac{\partial}{\partial x_i}f(a)+\frac{\partial}{\partial x_i}g(a)$

oraz

$\displaystyle \frac{\partial}{\partial x_i}(fg)(a)=g(a)\frac{\partial}{\partial x_i}f(a)+ f(a)\frac{\partial}{\partial x_i}g(a),$

gdy $\displaystyle i=1,2,\dots, n$. Stąd otrzymujemy równości a) oraz b).

W ramach następnego modułu wykażemy, że

Uwaga 6.32.

Pochodna kierunkowa w kierunku gradientu jest największa. W fizyce funkcję $\displaystyle f:\mathbb{R}^3\mapsto \mathbb{R}$ o wartościach liczbowych nazywa się funkcją skalarną, natomiast funkcję $\displaystyle F: \mathbb{R}^3\mapsto \mathbb{R}^3$ nazywa się polem (wektorowym). Przykładem funkcji skalarnych są np. temperatura, potencjał pola grawitacyjnego. Przykładem pola, które znamy ze szkoły, jest pole grawitacyjne. Jeśli w początku układu współrzędnych w przestrzeni $\displaystyle \mathbb{R}^3$ znajduje się punkt materialny o masie $\displaystyle M$, to - zgodnie z prawem powszechnego ciążenia Newtona - na dowolny inny punkt materialny położony w punkcie $\displaystyle \vec{r}=(x,y,z)$ o masie $\displaystyle m$ działa siła $\displaystyle F=(F_x, F_y, F_z)$, której składowe wynoszą:

$\displaystyle \begin{align*} F_x (\vec{r}) & =-k\frac{x}{r^3}, \\ F_y (\vec{r}) & =-k\frac{y}{r^3}, \\ F_z (\vec{r}) & =-k\frac{z}{r^3},\end{align*}$

gdzie $\displaystyle k=G m M$ jest iloczynem mas obu punktów materialnych i stałej grawitacji

$\displaystyle G=6,67259... \cdot 10^{-11} N\cdot m^2\cdot kg^{-2},$

natomiast $\displaystyle r=\|\vec{r}\|_2=\|(x,y,z)\|_2=\sqrt{x^2 +y^2+z^2}$ jest odległością obu punktów. Zwróćmy uwagę, że

$\displaystyle F(\vec{r})=-\frac{k}{r^3}\vec{r},$

stąd

$\displaystyle \|F(\vec{r})\|_2=\frac{k}{r^3}\|\vec{r}\|_2=\frac{k}{r^3}r=\frac{k}{r^2}$

siła ta jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości obu punktów materialnych.

Definicja 6.33.

Pole wektorowe $\displaystyle F:\mathbb{R}^3\supset D \mapsto \mathbb{R}^3$ nazywamy polem potencjalnym, jeśli istnieje funkcja skalarna $\displaystyle U:D\mapsto \mathbb{R}$ taka, że $\displaystyle \mathrm{grad}\, U(a)=F(a)$ w dowolnym punkcie $\displaystyle a$ zbioru otwartego $\displaystyle D\subset \mathbb{R}^3$.
Funkcję $\displaystyle U$ nazywamy wówczas potencjałem pola wektorowego $\displaystyle F$.

Uwaga 6.34.

Pole grawitacyjne $\displaystyle \displaystyle F(\vec{r})=-\frac{k}{r^3}\vec{r}$ jest polem potencjalnym. Potencjałem tego pola jest funkcja skalarna $\displaystyle U(\vec{r})=\frac{k}{r}$, gdzie (jak powyżej) $\displaystyle \vec{r}=(x,y,z)$

oraz $\displaystyle r=\|\vec{r}\|_2=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$.

Dowód 6.34.

Policzmy pochodne cząstkowe funkcji $\displaystyle U(x,y,z)=\frac{k}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=\frac{k}{r}$ określonej w zbiorze otwartym $\displaystyle D=\mathbb{R}^3 \setminus \{0\}$, czyli wszędzie w przestrzeni $\displaystyle \mathbb{R}^3$ poza początkiem układu współrzędnych. Mamy

$\displaystyle \begin{align*} \frac{\partial}{\partial x}U(\vec{r}) & =\frac{\partial}{\partial x}\frac{k}{r}=-\frac{k}{r^2}\cdot \frac{\partial r}{\partial x}=-\frac{k}{r^2}\cdot \frac{2 x}{2 r}=-\frac{k}{r^3}x \\ \frac{\partial}{\partial y}U(\vec{r}) & =\frac{\partial}{\partial y}\frac{k}{r}=-\frac{k}{r^2}\cdot \frac{\partial r}{\partial y}=-\frac{k}{r^2}\cdot \frac{2 y}{2 r}=-\frac{k}{r^3}y \\ \frac{\partial}{\partial z}U(\vec{r}) & =\frac{\partial}{\partial z}\frac{k}{r}=-\frac{k}{r^2}\cdot \frac{\partial r}{\partial z}=-\frac{k}{r^2}\cdot \frac{2 z}{2 r}=-\frac{k}{r^3}z,\end{align*}$

czyli

$\displaystyle \begin{align*} \mathrm{grad}\, U(\vec{r}) & = \mathrm{grad}\, U(x,y,z)=(-\frac{k}{r^3} x, -\frac{k}{r^3} y, -\frac{k}{r^3} z) \\ & =-\frac{k}{r^3} (x,y,z)=-\frac{k}{r^3} \vec{r} \\ & = F(\vec{r}).\end{align*}$

Definicja 6.35.

Dywergencją pola wektorowego $\displaystyle F=(F_x, F_y, F_z):\mathbb{R}^3\supset D\mapsto \mathbb{R}^3$ w punkcie $\displaystyle a\in D$ nazywamy liczbę

$\displaystyle \mathrm{div}\, F(a)=\frac{\partial F_x}{\partial x}(a)+\frac{\partial F_y}{\partial y}(a)+\frac{\partial F_z}{\partial z}(a),$

o ile istnieją pochodne cząstkowe $\displaystyle \frac{\partial F_x}{\partial x}(a), \ \frac{\partial F_y}{\partial y}(a), \ \frac{\partial F_z}{\partial z}(a)$. Jeśli w dowolnym punkcie $\displaystyle a\in D$ dywergencja $\displaystyle \mathrm{div}\, F(a)=0$, to pole wektorowe $\displaystyle F$ nazywamy polem bezźródłowym.

Uwaga 6.36.

Pole grawitacyjne $\displaystyle \displaystyle F(\vec{r})=-\frac{k}{r^3}\vec{r}$ jest polem bezźródłowym w $\displaystyle \mathbb{R}^3\setminus\{0\}$.

Dowód 6.36.

W dowolnym punkcie $\displaystyle \vec{r}=(x,y,z)\neq 0$ mamy

$\begin{array}{lll} \displaystyle \frac{\partial F_x}{\partial x}(\vec{r}) & = & \displaystyle \frac{\partial }{\partial x}\bigg(-\frac{k}{r^3} x\bigg)=-k\bigg(\frac{\partial x}{\partial x}\frac{1}{r^3}+x\frac{\partial }{\partial x}\frac{1}{r^3}\bigg) \\ & = & \displaystyle -k\bigg(\frac{1}{r^3}+x\cdot \frac{(-3)}{r^4}\frac{\partial r}{\partial x}\bigg)=-k\bigg(\frac{1}{r^3}- \frac{3x^2}{r^5}\bigg) \end{array}$

i podobnie

$\displaystyle \displaystyle \frac{\partial F_y}{\partial y}(\vec{r})=-k\bigg(\frac{1}{r^3}- \frac{3y^2}{r^5}\bigg) \text{ oraz } \frac{\partial F_z}{\partial z}(\vec{r})=-k\bigg(\frac{1}{r^3}- \frac{3z^2}{r^5}\bigg).$

Stąd

$\displaystyle \begin{align*} \mathrm{div}\, F(\vec{r}) & =\frac{\partial F_x}{\partial x}(\vec{r})+\frac{\partial F_y}{\partial y}(\vec{r})+\frac{\partial F_z}{\partial z}(\vec{r}) \\ & =-k\bigg(\frac{1}{r^3}- \frac{3x^2}{r^5}\bigg)-k\bigg(\frac{1}{r^3}- \frac{3y^2}{r^5}\bigg)-k\bigg(\frac{1}{r^3}- \frac{3z^2}{r^5}\bigg) \\ & =-k\bigg(\frac{3}{r^3}- \frac{3(x^2+y^2+z^2)}{r^5}\bigg)=-k\bigg(\frac{3}{r^3}- \frac{3r^2}{r^5}\bigg)=0.\end{align*}$

Definicja 6.37.

Rotacją pola wektorowego $\displaystyle F=(F_x, F_y, F_z):\mathbb{R}^3\supset D\mapsto \mathbb{R}^3$ w punkcie $\displaystyle a\in D$

nazywamy wektor

$\displaystyle \mathrm{rot}\, F(a)=\bigg(\frac{\partial F_z}{\partial y}(a)-\frac{\partial F_y}{\partial z}(a), \ \frac{\partial F_x}{\partial z}(a)-\frac{\partial F_z}{\partial x}(a), \ \frac{\partial F_y}{\partial x}(a)-\frac{\partial F_x}{\partial y}(a) \bigg).$

Wektor ten oznaczamy też czasem symbolem $\displaystyle \nabla\times F(a)$. Jeśli w każdym punkcie $\displaystyle a\in D$ rotacja $\displaystyle \mathrm{rot}\, F(a)=0$, to pole wektorowe $\displaystyle F$ nazywamy bezwirowym.

Uwaga 6.38.

Pole grawitacyjne $\displaystyle \displaystyle F(\vec{r})=-\frac{k}{r^3}\vec{r}$ jest polem bezwirowym w $\displaystyle \mathbb{R}^3\setminus\{0\}$.

Dowód 6.38.

W dowolnym punkcie $\displaystyle \vec{r}=(x,y,z)\neq 0$ mamy

$\displaystyle \frac{\partial }{\partial y}F_z(\vec{r})=\frac{\partial }{\partial y}\bigg(-k\frac{1}{r^3}z\bigg)=-kz\frac{\partial }{\partial y}\bigg(\frac{1}{r^3}\bigg)=-kz\frac{(-3)}{r^4}\frac{\partial r }{\partial y}=3kz \frac{y}{r^5}=zy\frac{3k}{r^5}$

oraz podobnie

$\displaystyle \frac{\partial }{\partial z}F_y(\vec{r})=yz\frac{3k}{r^5}.$

Pierwsza współrzędna wektora rotacji jest więc równa zeru, gdyż

$\displaystyle \frac{\partial F_z}{\partial y}(\vec{r})-\frac{\partial F_y}{\partial z}(\vec{r})=zy\frac{3k}{r^5}-yz\frac{3k}{r^5}=0.$

W ten sam sposób sprawdzamy, że również druga i trzecia współrzędna wektora rotacji zerują się:

$\displaystyle \begin{align*} \frac{\partial F_x}{\partial z}(\vec{r})-\frac{\partial F_z}{\partial x}(\vec{r}) & =xz\frac{3k}{r^5}-zx\frac{3k}{r^5}=0 \\ \frac{\partial F_y}{\partial x}(\vec{r})-\frac{\partial F_x}{\partial y}(\vec{r}) & =yx\frac{3k}{r^5}-xy\frac{3k}{r^5}=0.\end{align*}$

Stąd $\displaystyle \mathrm{rot}\, F(\vec{r})=0$, dla $\displaystyle \vec{r}\neq 0$.