Ciągowa zwartość

Pojęcie ciągowej zwartości było wprowadzone na wykładzie z Analizy matematycznej 1. Zbiory ciągowo zwarte nazwaliśmy wtedy zwartymi, korzystając z faktu, że w przypadku $\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^N$ oba te pojęcia są równoważne (patrz twierdzenie 2.23.).

Definicja 2.22.

Niech $\displaystyle \displaystyle (X,d)$ będzie przestrzenią metryczną oraz $\displaystyle A\subseteq X.$
Mówimy, że $\displaystyle A$ jest zbiorem ciągowo zwartym, jeśli z każdego ciągu $\displaystyle \displaystyle\{x_n\}\subseteq A$ można wybrać podciąg $\displaystyle \displaystyle\{x_{n_k}\}$ zbieżny w $\displaystyle A.$

Okazuje się, że zwartość jest równoważna ciągowej zwartości w przestrzeniach metrycznych. Mówi o tym kolejne twierdzenie. Podamy dowód tylko jednej z implikacji w poniższym twierdzeniu, mianowicie, że zwartość pociąga za sobą ciągową zwartość. Dowód przeciwnej (bardziej interesującej) implikacji wykracza poza program tego kursu. Przestrzeń metryczną, która jest zbiorem (ciągowo) zwartym będziemy nazywać przestrzenią (ciągowo) zwartą.

Twierdzenie 2.23.

Jeśli $\displaystyle X$ jest przestrzenią metryczną to $\displaystyle X$ jest przestrzenią zwartą wtedy i tylko wtedy, gdy $\displaystyle X$ jest przestrzenią ciągowo zwartą.

Dowód 2.23. [nadobowiązkowy]

{{{3}}}

Twierdzenie 2.24.

Jeśli $\displaystyle X_1,\ldots,X_k$ są przestrzeniami metrycznymi zwartymi, to $\displaystyle X_1\times\ldots\times X_k$ (z metryką standardową) jest przestrzenią metryczną zwartą.

Dowód 2.24. [nadobowiązkowy]

Przeprowadzimy dowód indukcyjny ze względu na ilość przestrzeni $\displaystyle k.$ Dla $\displaystyle k=1$ twierdzenie jest prawdziwe.
Załóżmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla pewnej ilości $\displaystyle k$ przestrzeni metrycznych. Pokażemy jego prawdziwość dla liczby następnej, $\displaystyle k+1$ przestrzeni metrycznych. Zakładamy, że przestrzenie metryczne $\displaystyle X_1,\ldots,X_k,X_{k+1}$ są zwarte. Aby pokazać zwartość iloczynu kartezjańskiego $\displaystyle X_1\times\ldots\times X_k\times X_{k+1},$ wystarczy pokazać ciągową zwartość tego iloczynu kartezjańskiego (porównaj twierdzenie 2.23.). W tym celu niech $\displaystyle \displaystyle\{x_n\}\subseteq X_1\times\ldots\times X_k\times X_{k+1}$ będzie dowolnym ciągiem, gdzie $\displaystyle x_n=(x_n^1,\ldots,x_n^k,x_n^{k+1})$ dla $\displaystyle n\in\mathbb{N}.$ Z założenia indukcyjnego wiemy, że iloczyn kartezjański $\displaystyle X_1\times\ldots\times X_k$ jest zwarty, a zatem także ciągowo zwarty. Zatem z ciągu $\displaystyle \displaystyle\{y_n\}\subseteq X_1\times\ldots\times X_k,$ gdzie $\displaystyle y_n=(x_n^1,\ldots,x_n^k)$ można wybrać podciąg zbieżny $\displaystyle \displaystyle\{y_{n_l}\}.$ Ponieważ przestrzeń $\displaystyle X_{k+1}$ jest zwarta, więc z ciągu $\displaystyle \displaystyle\{x^{k+1}_{n_l}\}$ można wybrać podciąg $\displaystyle \displaystyle\{x^{k+1}_{n_{l_m}}\}$ zbieżny w $\displaystyle X_{k+1}.$ Oczywiście podciąg $\displaystyle \displaystyle\{y_{n_{l_m}}\}\subseteq X_1\times\ldots\times X_k$ jest zbieżny w $\displaystyle X_1\times\ldots\times X_k$ (jako podciąg ciągu zbieżnego $\displaystyle \displaystyle\{y_{n_l}\}$). Zatem podciąg $\displaystyle \displaystyle\{x_{n_{l_m}}\}$ jest zbieżny w $\displaystyle X_1\times\ldots\times X_k\times X_{k+1}$ (patrz twierdzenie 2.19.).

Wniosek 2.25.

Kostka $\displaystyle \displaystyle [a_1,b_1]\times\ldots[a_N,b_N]\subseteq\mathbb{R}^N$ jest zwarta w $\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^N.$

Dowód 2.25.

Twierdzenie jest natychmiastową konsekwencją tego, że przedział domknięty i ograniczony w $\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}$ jest zbiorem zwartym (patrz twierdzenie 1.21.) oraz powyższego twierdzenie 2.24.

wykres

Kolejny wniosek podaje pełną charakteryzację zbiorów zwartych w przestrzeni euklidesowej $\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^N.$

Wniosek 2.26. [Heinego-Borela]

Jeśli $\displaystyle A\subseteq\mathbb{R}^N,$ to zbiór $\displaystyle A$ jest zwarty

wtedy i tylko wtedy, gdy jest domknięty i ograniczony.

Dowód 2.26.

"$\displaystyle \displaystyle\Longrightarrow$"

Implikacja ta jest prawdziwa w dowolnej przestrzeni metrycznej, co było udowodnione na poprzednim wykładzie (patrz twierdzenie 1.19. i uwaga 1.20.

"$\displaystyle \displaystyle\Longleftarrow$"

Jeśli zbiór $\displaystyle A\subseteq\mathbb{R}^N$ jest ograniczony, to możemy go zawrzeć w pewnej kostce $\displaystyle \displaystyle [a_1,b_1]\times\ldots[a_N,b_N]\subseteq\mathbb{R}^N$ (dlaczego?). Jeśli ponadto jest domknięty, to ze zwartości kostki (patrz wiosek 2.25.) wynika jego zwartość, bo podzbiór domknięty jest zbiorem zwartym (patrz >twierdzenie 1.19.(4)).

wykres

Zachodzi następujący związek między przestrzeniami zwartymi a zupełnymi.

Twierdzenie 2.27.

Przestrzeń metryczna metryczna zwarta jest zupełna.

Dowód 2.27. [nadobowiązkowy]

Niech $\displaystyle \displaystyle (X,d)$ będzie przestrzenią metryczną zwartą. Należy pokazać, że przestrzeń metryczna $\displaystyle X$ jest zupełna. W tym celu weźmy dowolny ciąg $\displaystyle \{x_n\}$ spełniający warunek Cauchy'ego. Z twierdzenia 2.23. wiemy, że przestrzeń $\displaystyle X$ jest ciągowo zwarta, zatem z ciągu $\displaystyle \{x_n\}$ możemy wybrać podciąg $\displaystyle \{x_{n_k}\}$ zbieżny w $\displaystyle X$, to znaczy

$\displaystyle \exists x_0\in X:\ \lim\limits_{n \to +\infty} x_{n_k} \ =\ x_0.$

Wykażemy, że $\displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty} x_n=x_0$. Ustalmy dowolne $\displaystyle \varepsilon>0$. Z definicji granicy wiemy, że istnieje $\displaystyle k_0\in\mathbb{N}$ takie, że

$\displaystyle \forall k\ge k_0: d(x_{n_k},x_0) \ < \ \frac{\varepsilon}{2}.$

Z warunku Cauchy'ego wiemy, że istnieje $\displaystyle N_1\in\mathbb{N}$ takie, że dla dowolnych $\displaystyle m,n\ge N_1$ zachodzi

$\displaystyle d(x_n,x_m) \ < \ \frac{\varepsilon}{2}.$

Niech $\displaystyle k_1\ge k_0$ będzie takie, że $\displaystyle n_{k_1}\ge N_1$ oraz niech $\displaystyle N=n_{k_1}$. Wówczas dla dowolnego $\displaystyle n\ge N$ mamy

$\displaystyle d(x_n,x_0) \ \le\ d(x_n,x_{n_{k_1}})+d(x_{n_{k_1}},x_0) \ < \ \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2} \ =\ \varepsilon.$

Pokazaliśmy zatem, że $\displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty} x_n=x_0$, co kończy dowód zupełności przestrzeni $\displaystyle X$.

Uwaga 2.28.

Twierdzenie odwrotne do powyższego nie jest prawdziwe. Wiemy na przykład, że przestrzeń metryczna $\displaystyle \displaystyle (\mathbb{R},d_2)$ jest zupełna, ale nie zwarta (patrz przykład 2.11. oraz twierdzenie 1.22.).